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標題:
幾題數學歸納法的問題
1a利用數學歸納法，證明對於所有正整數n， 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2=1/6n(n+1)(6n^2+14n+7)。 b由此，或用其他方法，計算 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2。 2a利用數學歸納法，證明對於所有正整數n， 1^2*4+2^2*5+3^2*6+...+n^2(n+3)=1/4n(n+1)(n^2+5n+2)。 b由此，根據公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)，或用其他方法，推導出計算以下數式的公式。 1^2*2+2^2*3+3^2*4+...+n^2(n+1) 更新: b由此，或用其他方法，計算 11*23^2+12*25^2+13*27^2+...+20*41^2。 補充返 打漏左d點點
最佳解答:
1a) For n=1, the hypo holds as LHS and RHS both equal to 6. Assuming that the hypo holds for n=k Then, LHS + (k+1)(2k+3)^2 =RHS + (k+1)(2k+3)^2 = k(k+1)(6k^2 +14k+7)/6 + (k+1)(2k+3)^2 =(k+1)(k(6k^2 +14k+7) + 24k^2 + 72k +54)/6 =(k+1) (6k^3 +38k^2 +79k + 54)/6 =(k+1)(k+2)(6k^2 + 26k +27)/6 =(k+1)(k+2)(6k^2 + 12k + 6 +14k+14 + 7)/6 =(k+1)(k+2)(6(k+1)^2 + 14(k+1) + 7)/6 Thus, the hypo holds for n=k+1. By Math induction, the hypo holds. 1b) Let p(n) be 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2 Then, 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2 = p(13) - p(10) + 20*41^2 = 13*14*(6*13^2 +14*13 +7)/6 - 10*11(6*10^2 +14*10+7)/6 + 20*41^2 = .......... 2a) I only work out for n=k+1 's case: LHS + (k+1)^2(k+4) = (k+1)(k(k^2 + 5k +2) +4(k+1)(k+4))/4 = (k+1)(k^3 + 5k^2 +2k +4k^2 +20k +16)/4 = (k+1)(k^3 + 9k^2 +22k + 16)/4 = (k+1)(k+2)(k^2 + 7k +8)/4 = (k+1)(k+2)(k^2 + 2k + 1 + 5k + 5 + 2)/4 = (k+1)((k+1)+1)((k+1)^2 + 5(k+1) +2)/4 2b) 1^2*2+2^2*3+3^2*4+...+n^2(n+1) = 1^2*4+2^2*5+3^2*6+...+n^2(n+3) - (1^2*2+2^2*2+3^2*2+...+n^2(2)) = n(n+1)(n^2+5n+2)/4 - 2(1^2+2^2+3^2+...+n^2) = n(n+1)(n^2+5n+2)/4 - 2n(n+1)(2n+1)/6 = n(n+1)(n+2)(3n+1)/12 END.
其他解答:
1b) Let p(n) be 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2 Then, 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2 [[ = p(13) - p(10) + 20*41^2 ]] = 13*14*(6*13^2 +14*13 +7)/6 - 10*11(6*10^2 +14*10+7)/6 + 20*41^2 呢part唔明白，可以解釋一下嗎？ 2008-11-26 23:15:15 補充： 11*23^2+12*25^2+13*27^2+...+20*41^2 ^^^ 這里應該打漏了....
幾題數學歸納法的問題
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發問:1a利用數學歸納法，證明對於所有正整數n， 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2=1/6n(n+1)(6n^2+14n+7)。 b由此，或用其他方法，計算 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2。 2a利用數學歸納法，證明對於所有正整數n， 1^2*4+2^2*5+3^2*6+...+n^2(n+3)=1/4n(n+1)(n^2+5n+2)。 b由此，根據公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)，或用其他方法，推導出計算以下數式的公式。 1^2*2+2^2*3+3^2*4+...+n^2(n+1) 更新: b由此，或用其他方法，計算 11*23^2+12*25^2+13*27^2+...+20*41^2。 補充返 打漏左d點點
最佳解答:
1a) For n=1, the hypo holds as LHS and RHS both equal to 6. Assuming that the hypo holds for n=k Then, LHS + (k+1)(2k+3)^2 =RHS + (k+1)(2k+3)^2 = k(k+1)(6k^2 +14k+7)/6 + (k+1)(2k+3)^2 =(k+1)(k(6k^2 +14k+7) + 24k^2 + 72k +54)/6 =(k+1) (6k^3 +38k^2 +79k + 54)/6 =(k+1)(k+2)(6k^2 + 26k +27)/6 =(k+1)(k+2)(6k^2 + 12k + 6 +14k+14 + 7)/6 =(k+1)(k+2)(6(k+1)^2 + 14(k+1) + 7)/6 Thus, the hypo holds for n=k+1. By Math induction, the hypo holds. 1b) Let p(n) be 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2 Then, 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2 = p(13) - p(10) + 20*41^2 = 13*14*(6*13^2 +14*13 +7)/6 - 10*11(6*10^2 +14*10+7)/6 + 20*41^2 = .......... 2a) I only work out for n=k+1 's case: LHS + (k+1)^2(k+4) = (k+1)(k(k^2 + 5k +2) +4(k+1)(k+4))/4 = (k+1)(k^3 + 5k^2 +2k +4k^2 +20k +16)/4 = (k+1)(k^3 + 9k^2 +22k + 16)/4 = (k+1)(k+2)(k^2 + 7k +8)/4 = (k+1)(k+2)(k^2 + 2k + 1 + 5k + 5 + 2)/4 = (k+1)((k+1)+1)((k+1)^2 + 5(k+1) +2)/4 2b) 1^2*2+2^2*3+3^2*4+...+n^2(n+1) = 1^2*4+2^2*5+3^2*6+...+n^2(n+3) - (1^2*2+2^2*2+3^2*2+...+n^2(2)) = n(n+1)(n^2+5n+2)/4 - 2(1^2+2^2+3^2+...+n^2) = n(n+1)(n^2+5n+2)/4 - 2n(n+1)(2n+1)/6 = n(n+1)(n+2)(3n+1)/12 END.
其他解答:
1b) Let p(n) be 1*3^2+2*5^2+3*7^2+...+n(2n+1)^2 Then, 11*23^2+12*25^2+13*27^2+20*41^2 [[ = p(13) - p(10) + 20*41^2 ]] = 13*14*(6*13^2 +14*13 +7)/6 - 10*11(6*10^2 +14*10+7)/6 + 20*41^2 呢part唔明白，可以解釋一下嗎？ 2008-11-26 23:15:15 補充： 11*23^2+12*25^2+13*27^2+...+20*41^2 ^^^ 這里應該打漏了....
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